The identity of art es la traducción del artículo de Ricardo Sánchez Ortiz de Urbina en EIKASIA, Revista de filosofía. A continuación, pueden encontrar una exposición que combina filosofía fenomenológica, teoría estética, filosofía del arte y ciencia contemporánea (matemáticas y física). Esta no es una descripción típica. Consiste en la unificación de las grandes regiones del pensamiento humano, Ciencia, Arte y Filosofía, como sucedió en las primeras décadas del siglo XX con la aparición de la física contemporánea, las vanguardias artísticas y la filosofía fenomenológica.

 

The identity of art is the translation of the article by Ricardo Sánchez Ortiz de Urbina in EIKASIA, Revista de filosofía. Below, you can find an exhibition that combines phenomenological philosophy, aesthetic theory, philosophy of art and contemporary science (mathematics and physics). This is not a typical description. It consists of the unification of the great regions of human thought, Science, Art and Philosophy, as happened in the first decades of the 20th century with the appearance of contemporary physics, the artistic avant-gardes and phenomenological philosophy.

 

 

At the beginning of the 20th century there was a distinction between classical physical knowledge and quantum physical knowledge. With special relativity (space-time and the equating of energy and matter), classical physics culminates; and with the Planck quantization, a new physics begins, with strange syntheses without identity: transprobability.

But, in 1915, an even deeper distinction appeared, that of proper knowledge (which encompasses the classical and quantum), and improper knowledge. It all started when, in Einstein’s general relativity, it was not clear that the sacred principle of the conservation of energy was fulfilled. Hilbert claimed (his famous Behauptung) that it was improper knowledge; but he couldn’t explain why. It was the mathematician Emmy Noether, an expert in invariants, who, with her two theorems from 1918, explained the radical difference between proper knowledge (conservation of energy, of linear and angular moments, of «charges» …), and improper knowledge (second theorem).

But the deeper reason for improper conservation, which Noether found in Lie’s non-enumerable infinity groups, is in the purposive field of renewed phenomenology. We find it when the intentional field is traversed not “from the ground up” (the movement of the least action), but “from below upwards”: the simple invariance without attention to movement. And there we find the surprising identity of art, compared to the identity of science. Art is an improper, strong and all-encompassing form of knowledge.

 

 

The identity of art

Ricardo Sánchez Ortiz de Urbina

Translation Luis Álvarez Falcón

 

In front of the surprise that the number 100 of “Eikasía. Revista de filosofía” have transformed in a homage to my person by the mere reason to having aged, have felt me, first, as somebody nude in a market of slaves; afterwards, as somebody exhibited in public auction; and, finally, as subject of a necrológica (fixation of the ambiguity) that, as it is known, is used to to abound in compliments. Finally, dress, modest and alive, what do is to thank all by his glorious articles with another, brief, on a new approach of what are the identities of the art, since the identity says of a lot of ways.
Ricardo Sánchez Ortiz de Urbina.

One of the keys of my book on an phenomenological epistemology (unseen Order) is that it is necessary to distinguish between proper knowledges and improper knowledges, since the art (and the religion) do not leave to be knowledges. The art is not primariamente a subject of beauty, neither of representation, that are secondary effects; the art is a question of knowledge, although this was “improper”.

The art is knowledge for being universal; the art is not “cultural”, although, during centuries, have been impregnated by cultural attachments that did it partial. The course of the art to his universality (the autonomy) was a course of centuries, that culminated happily with the revolution of the avant-gardes, simultaneous revolution of the quantum revolution in physics and of the phenomenological revolution in philosophy. The same has happened with the religions, full of cultural adherences, even in the catholicism, in spite of his etymology of kathólou.

The cultural components: tongues, mores, mythologies, are divisional. The knowledges are universal experiences. The question that poses is, then, the following: ¿What does that some knowledges are proper and other improper?

 

The qualifying of “proper” was an occurrence of David Hilbert when it battled, in parallel with Einstein in the reconciliation of the equations of field of the general relativity, with the holy law of the conservation of the energy, that so evident seemed in the proper knowledges of the physics. It resembled Hilbert that a scientific knowledge is suitable if it adjusts  transparently to an equation of continuity. But, in the “continuity”, is the “mother of the lamb”, that only was decrypted by Emmy Noether, expert in invariants, call by Hilbert and Klein to Göttingen to help them.

Noether immediately saw that continuity is said in two ways, depending on whether its «generators» belong to the enumerable infinity or the non-enumerable infinity. They are two different continuities, the second of which encompasses the first.

This second class is the explored by the groups of Lie, of the Norwegian mathematician Sophus Lie (1842-1899), that Noether had studied deeply. In year 1918, Emmy Noether, in a brief writing (Invariante Variationsprobleme), formulated two theorems, the first on the proper knowledges, based on the enumerable continuity of the «generators», linked to an extreme principle of minimal action, and the second on improper knowledge, based on the non-enumerable continuity of the «generators» linked exclusively to an invariance, without the movement that the constrains to extreme minimum action.

That the functional (the function of functions) was only invariant, or that the functional was besides extreme, are two very separate questions. The proper physical knowledges govern by the equations of Euler-Lagrange, that resolve the movements that drive to an extreme of minima (first theorem). The improper physical knowledges receive only to the invariance, no to the extreme movements (second theorem).

And it is in the field of this second theorem, where resolved the question of the conservation of the energy in the general relativity. Neither Einstein, neither Hilbert recognised the identities of invariance that here were involved, the called “identities of Bianchi”.

Well, the identity of the art corresponds with these identities of mere invariance, without extreme movements. What means that the perceptive fantasies that compose the work of art do not go out of any extreme movement of minima, as in the transpositions of the language in the intentional field, from up and down (considering as «above» the original level).

The perceptive fantasies of the art (and his corresponding identity) arise in the mere invariance in the intentional field, from up and down. But not, as Husserl wanted, by modifying a privileged objective intentionality, but as moments of retention of hyperbasis in the conformation of the intentional field. The perceptive fantasies of art do not arise in the transposition of levels, when the intentional field is gnoseologically structured in a movement of extremes and minima. The identity of art is the identity that appears in strict invariance, without the functional being “extreme”. The identity that guides the artist in his work is an identity «against the grain» of the intentional field (de-objectification), when invariance does not take refuge in movements of extreme or minimal action.

 

“Whoever damages the painting, commits a crime against the truth”, wrote the old Filóstrato in his Images. That is to say, the painting (the art) is a form of knowledge. Now well, we can ask us: ¿Of which form of knowledge? This was out of the scope of the old Filóstrato. They needed  a lot of centuries, practically until, at the beginning of the s. XX, concluded four revolutions.

The first revolution, the earliest, began with the formidable innovations of Galois and Riemann, which changed the mathematical field into an eidetic field.

The second revolution is the culmination of the course of the art to his autonomy, autonomy attained definitively by the Avant-gardes, beginning by the transformation of the Impressionism in Expressionism. The Art was shedding its cultural attachments; first, of his context of religious culture; afterwards, of his mythological context, as we check in the glorious exhibition that takes place in the Museum del Prado while I write these lines, exhibition that gathers, for the first time in centuries, the six “mythological” poetries that Tiziano composed for Felipe II.

The third and fourth revolutions are simultaneous; they are Husserl’s phenomenological revolution, with his proposal of the objective intentional level, which inaugurates the intentional field, and the physical revolution that transforms classical physics into quantum physics.

Altogether, we can say that philosophical materialism is expanded as phenomenological materialism. There has been an unstoppable process of unification.

Newton unifies the falling motion of an apple with the motion of the planets: it is gravitation at an unbearable price, gravity transmitted instantaneously.

Maxwell unifies the electricity and the magnetism, and results the identity of the light, the constant c.

Einstein unifies space and time, mass and energy, gravity and geometry. But he didn’t realize that mass and matter don’t match. We now know that mass is not an intrinsic property of matter; it is an acquired property. There was a primeval time when particles traveled frantically without mass. Matter could not be assembled, add. Only with a subsequent cooling (with the Higgs boson), the matter was added forming protons, neutrons, electrons, atoms, molecules … until now. Until 1915, when Einstein, in his proposal for a general relativity, made the motion equal the curvature of space-time.

But then it aroused  the alarm. The formula of Eisnstein:

Rμν  – ½ R . gμν = 8 π Tμν

Examined with the magnifying glass of the mathematicians of Göttingen (Hilbert and Klein), it seemed that it did not fulfill an imprescriptible conservation: the conservation of energy.

Hilbert proposed a risky solution; what occurred was that it had changed the form of knowledge. No longer it treated of a classical knowledge, an proper knowledge, but of an improper knowledge. And it was the mathematics Noether the one who elucidated what means an improper knowledge, in his second theorem, of 1918, three years after the Eistenian proposal.

What is improper knowledge can be established in two ways. Or as the change of a functional in which the invariance is stationary, extreme, for a functional of mere invariance; or as the change of a group of transformations (whose elements or «generators» are an enumerable infinite), for a group whose elements are constituted by a non-enumerable infinite. In both cases, it is a question of sharply distinguishing invariance with an extreme functional (the motion analyzed by the Euler-Lagrange equations), and mere invariance.

It is in that mere invariance, which does not attend to the transposition of the movement, where a new identity appears, which is not the intentional identity, nor evidently the eidetic identity, but a new, strange identity: the identity of improper knowledge, which is reveals first in general relativity and then reappears in other improper knowledge, those that traverse the intentional field, not from up and down, by transposition, but from up and down, by stopping hyperbasis: first artistic de-objectification, and then aesthetic experience.

Art and Religion appear, like this, like the two regions of improper knowledges, reason by which were included in the book unseen Order, whose subject is a phenomenological epistemology.

 

Technically the proper classical knowledges abide by the independent variables: space, time and field; without subjecting them to bypass. Only there is traslaciones and rotations.

If we translate time (without deriving it), the homogeneity of time, its symmetry, grants the conservation of energy.

If we translate the space (without deriving it), the homogeneity of the space gives us the conservation of linear momentum.

If we rotate space (isotropy of space), this symmetry provides conservation of angular momentum.

And the change of the entire field (gauge transposition), does not give the conservation of charge.

All this is classical: first theorem of Noether.

The second theorem picks up Hilbert’s challenge: it was not possible to reconcile the field equation of general relativity with the conservation of energy. The previous classical model no longer worked, in which, from a clear continuity (the mere translation or rotation of space, time and the field as intact independent variables), it was clearly deduced, properly, the conservation of something: energy, movement or loading.

Now the continuity itself has changed; space and time have undergone a bypass, and it turns out that the charges then interact with the fields. Conservation has become improper. Thus, Noether’s second theorem intervenes. If there is no functional with an extreme movement, with a minimum, the meaning of the identity changes. Then some «dependencies» appear, which are nothing but components of the field not determined by the equations of motion. They are identities of simple invariance.

There are, then, two types of conservation, proper and improper, that respond to two situations of the functional: if the functional is extreme or if it is not. Since the two Noether theorems are based on sharply separating two situations of the functional: if it is extreme or if it is simply invariant.

A new type of identities appears. They are not intentional identities, which arise, by transposition, in movement with a minimal extreme, but rather more encompassing identities, which are not limited to fulfilling the equations of movement. These larger identities are improper relationships (uneigentliche Relationen), but they are strong relationships, strong conservation laws (strong); whereas the conservation laws obtained in the classical situation of the first theorem are weak laws.

The identities of the proper conservation, feeble, appear in the groups of Lie of dimension limited (enumerable infinite); the identities of the improper conservation appear in the groups of Lie of boundless dimension (infinite not enumerable).

In this second theorem, whose results are encompassing those of the first theorem, it is where the conservation of energy of general relativity is verified, and where the identities of art appear.

 

We continue with a new variation, in this system of exhibition by musical variations, that suppose necessarily some repetition.

It was in the year 1915, in April, when Emmy Noether landed in Göttingen, invited by Hilbert and by Klein, like expert in invariants. Three months after his arrival, visit Einstein Göttingen, to explain in six lessons his general theory of the relativity. Hilbert remained excited and worked in a new version of the equations of the gravitational field, that Einstein presented, in its final version, to finals of November, in the Academy Prusiana of Berlin.

As we have seen, the problem that appeared without an apparent solution was how to reconcile the theses of gravitation that geometrized physics by making gravitation equivalent to the curvature of space-time of special relativity, with the conservation of energy.

Noether quickly intuited the underlying question: the force of the application of eidetic-mathematical structures to nature, and, with it, the connection of theory with experimentation. Hilbert totally agreed, but not Klein. Klein did not see that mathematical principles of variation were essential for expressing physical laws. In a letter to Pauli, in 1921, he wrote: «The fanatical faith of those who believe that variational principles can explain the reality of nature by purely mathematical considerations» (“der fanatische Glauben an die Variationsprinzipien, die Meinung, dass man durch blossen matematisches Nachdenken give Wesen der Natur erklären könne”)[1].

I suspect that the shadow of Husserl projected  on Hilbert and on Noether. In effect, Husserl happened of Halle to Göttingen in 1905, and left Göttingen to happen to Friburg in 1916. Being so it was to 1913 when the influence husserliana arrives to his apogeo with the publication of his book-program, the Ideas for a phenomenology, in his famous “Yearbook”, recently premièred.

I want to say that, although Hilbert and Noether were not philosophers, had to suffer the “tide fenomenológica” that drove them to distinguish between own and improper knowledges. Distinction this that goes through on of the distinction between quantum physics and classical physics, since so much the quantum as the classical find  in the knowledges that subject  at the beginning of minimum action. As it writes Feynman in his fundamental Lectures on Physics : “A particle takes the way of minimum action (the path of least action) as if it sniffed all the possible ways and chose the one who supposed the lower action, by an analogous method to the of the light when it chooses the most brief time”[2].

The decisive way is the one who groups in his lathe to ways with the same phase. That is to say, the decisive is not the distinction between classical and quantum, since both subject at the beginning of minimum action, but the distinction between proper and improper, since the proposal of the general relativity of Einstein is the one of an improper knowledge, and is the phenomenology the one who finish defining the proper knowledges like knowledges inscribed in the movement of transposition of the intentional field, from above downwards, by transposition. Whereas the improper knowledges inscribe in the intentional field “doing”, in the arrest of the hipérbasis by which the epokhê launches us to the human sense in the upper limit of the intentional field.

 

The proper knowledge is later, and they are the ones that organize, in the epistemological regressus, the intentional field, by successive transpositions. For this reason, improper knowledge is encompassing of one’s proper and, among them, in addition to the initial general relativity, is art: the identity of art in the arrest of the middle level.

Although it should be noted that it is not that this «arrest» of hyperbasis equates to what Husserl believed was a modification of objective intentionality. The identity of art is produced in a technical de-objectification, which does not mean a modification of intentionality. The perceptive fantasies that define the identity of art (an echo of Bianchi’s identities in physics) are not perceptive fantasies by transposition of the original level (movement of minimal action), nor are they fantasies produced by modification of an objective intentionality; are perceptive fantasies arising in a strange arrest of hyperbasis.

It is in this identity of art that there is a collusion between the artist and the mathematician (the scientist), when both start from a special nucleus of perceptive fantasies that will serve different purposes: art and science.

It was surely Dirac the scientist that better perceived this collusion. Dirac, with his equation, was able to do increasingly precise the application of it eidetic to the physical, after the equations of Schrödinger and of Klein-Gordon. And, at the same time, it went stressing his artistic character. The equation of Dirac is simpler, linear, and is able to predict, in his four orderly functions in columns, antiparticles: electrons of positive load and antiprotones of negative load, before they could be observed experimentally.

We can ask ourselves: ¿Where did Dirac come from this approximation between the aesthetic and the physical? The answer can only be the following: the inappropriate encompasses the appropriate. In Noether’s equations, groups consisting of elements with non-enumerable infinity encompass groups with elements of countable infinity. Noether’s second theorem encompasses the first. The continuum that derives time encompasses the temporal continuum. That is, in the intentional field, the path from up and down through constitutive hyperbasis is encompassing the gnoseological path from down and up when necessarily the movement of the functional is a stationary invariance with minimums of extreme action.

The “dependencies” of Noether, that is to say, the relations between the components of the field, no determined in way any by the equations of movement, give  in the simple invariance. Noether Saw clearly that, after the proper conservation, after the laws of the classical mechanics, the electrodynamics and the quantum, appeared encompassing functions, functions of the coordinates space-temporary. And this only could  appreciate from the mathematical theory of the groups of transformation. There is a group of Lie, fundamental and encompassing, in which each point reveals like a generator of the continuous.

In the theory of the general relativity, these radical transformations affect to the metric tensor, that is the basic component of the gravitation.

 

There is as a basic identity, identity in the mere invariance. The physicists call them identities of Bianchi, in the tensor of curvature of Riemann. These dependencies, or identities of Bianchi, are the precedent of the identities of the art when we limit us to the field intencional dominant and to the internal connection of his components.

In his second theorem, Noether shows that the conservation of energy in the theory of general relativity is improper, so that matter and gravity are intrinsically coupled. One could only speak of self-conservation of energy in the entire system of the universe, with an intentional subject outside that system (God), an impossible situation. In the human situation, in which we inevitably find ourselves, there is necessarily and simultaneously proper and improper knowledge, and the former (with their conservation laws) form a subgroup of the latter.

The conservation of energy in general relativity cannot be its proper, and the identity of art in the arrest of the hyperbasis of the intentional field is not its proper either. And the improper in encompasses the proper. Which does not mean that old Protagoras’s thesis was true. Protagoras held that man is the measure of everything. It could also be said that it is things that measure man. Well, neither anthropologism nor naturalism. It must be confessed that things measure man and man measures things. The intentional field springs from the epokhê of the natural and blind movement of the physis, and this movement becomes transparent precisely from the intentional field.

Such is the situation of fundamental circularity in which humanity is inscriptionally inscribed. And it is in such a circular situation that the distinction between proper and improper knowledge is compelled. It is the same intentional field that is duplicated, if we stick to its conformation in simple invariance (improper artistic identities), or if we adhere to its conformation as the movement governed by extreme constraints: minimal action of its proper.

 

In short: Noether’s second theorem is encompassing of the first; there are improper conservation laws versus classical proper laws; there are points of non-enumerable infinity in the group of transformations versus points of enumerable infinity; there are extreme functional versus field component dependencies; there is identity of simple invariance versus an invariance dominated by motion.

If we focus on the level of intermediation, we can observe how the two directions intersect. From from up and down, perceptive fantasies (identities of the transposable) are culturally divided. From the down and up, perceptive fantasies (art identities) are universal.

Therein lies what has been called the march of art towards its autonomy. When works of art are culturally affected, their reception is no longer universal, and is limited by the sets of subjects culturally grouped by languages, mores and mythologies of justification. When art detaches itself from cultural affections and achieves the freedom of its autonomy, its reception is universal and crosses cultural borders.

The identity of art is universal; the identity of the transposable is divisive. But it is the same intentional field that houses the two dimensions, improper and proper, that run through the functional in opposite senses, so that the improper sense is the strong and encompassing one.

What Noether, with his mastery of Lie transformation groups, found in Einstein’s general relativity (the identities of Bianchi, which neither Hilbert nor Klein knew) and which allowed him to explain conservation of energy as improper conservation, we have extended to analogous territories, in which the identity of art appears. Art identity that, because it is strong and improper, is encompassing scientific identities (conservation of energy, of moments and of different kinds of «charges»), and we confirm such a strange and apparently scandalous situation, in the irremediable human circumstance that it is the fundamental circularity: «I and my circumstance.».

And the same thing that we have just analyzed at the intermediate level of the intentional field, we can verify it at the original level. What intersects here is what is usually called phenomenologization and aesthetic experience: it is the process, also governed by a law of minimal action of the «paths» that are integrated versus the free experience of movement, and attended to the mere invariance of the aesthetic experience, continuation of artistic identity, and whose mission is evidently that of a reinforcement of humanity.

 

The year 1970 is a key date in the history of physics. It was the year that the standard model of particle physics was completed. From that date until now, our knowledge of the physical world has not changed substantially; there have been detailed advances: new bosons of the weak nuclear force, Higgs bosons, neutrino oscillations, accelerated expansion of the universe … but: “when it comes to empirical knowledge, physicists now basically know the same thing as their colleagues in 1970”[3].

1970 was also the date that Noether’s theorems of 1918 were rediscovered, half a century later. During those fifty years, physicists used to speak of Lie groups (which are at the base of these theorems) as the «plague of groups» (Gruppenpest), resisting in a strange way the mathematization of physics. It took decades for the physicist community to accept Noether’s mathematics; and many more years to recognize his decisive division between the conservation of physical laws in classical mechanics and the conservation of energy in general relativity.

 

It is the divide and proper knowledge and improper knowledge that is at the core of the term quantum gravity. Quantum gravity does not have a scientific resolution, but rather a phenomenological one, since it affects both senses of the intentional field: the sense that houses one’s own knowledge, based on the transposition of levels, when the functional one is governed by a principle of extreme action; and the sense that harbors improper, strong and encompassing knowledge: universal gravitation, the geometry of space-time.

Quantum gravity seeks to scientifically unite what, by definition and previously, is separate: proper and improper knowledge, which are only phenomenologically reconciled.

The identity of art and the theory of general relativity are improper knowledge because both refer, in the same way, to space-time: space-time is transformed in them in such a way that the infinitesimal generator parameter (ε) does not retain its value. Space and time are subject, in both cases, to derivation. The derivative is the parameter ε itself; what results is an identity of mere invariance, an identity that highlights «dependencies» of the intentional field, components of the field not determined by the equations of movement.

Physicist Dwight Neuenschwander sums all this up in this sentence: “Noether’s second theorem drives home the point that to functional being an extremal and being invariant plough separate considerations[4].

 

It is possible, to curl the curl, and finish, the realization that there is, in addition, a certain hierarchy between the identities of art. There seem to be art identities with a potential for improper knowledge superior to that of other related ones.

Take a well-known example. Vinteuil’s sonata is a fictional sonata of Proust in his great novel, but it is clear that its identity is superior in improper potential to the identity of the Cesar Franck sonata from which it appears to have been inspired.

 

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The style of presentation of this article is evident. It is a carbon copy of what, in music, is called variations. There are contents that cannot be expressed linearly, but only as a series of successive musical variations, as the coordinates change, in a differentiated repetition; musical variations that can test a reader’s impatience.

In other words, it is the content that has been imposed here on its form of exposure.

RICARDO SÁNCHEZ ORTIZ DE URBINA
Guadarrama, 11 de junio, 2021.

 

[1] I. KOSMANN – SCHWANZBACH, The Noether Theorems, Springer, 2018, p. 27.

[2] R. FEYNMAN, Lectures of Physics, v. II, 19-9, California Institut of Technology, 1964.

[3] P. NARANJO, The quantum gravity, Madrid, RBA, 2019, p. 141.

[4] D. And. NEUENSCHWANDER, Emmy Noether’s wonderful theorem, Baltimore, Hopkings Universty Press, 2017, p. 197.

 

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A principios del siglo XX se produjo la distinción entre conocimientos físicos clásicos y conocimientos físicos cuánticos. Con la relatividad especial (el espacio-tiempo y la equiparación de energía y materia), culmina la física clásica; y con la cuantización de Planck, se inicia una física nueva, con extrañas síntesis sin identidad: transprobabilidad.

Pero, en 1915, apareció una distinción aún más profunda, la de los conocimientos propios (que engloban lo clásico y lo cuántico), y los conocimientos impropios. Todo empezó cuando, en la relatividad general de Einstein, no estaba claro que se cumpliese el principio sagrado de la conservación de la energía. Hilbert afirmó (su famosa Behauptung) que se trataba de un conocimiento impropio; pero no supo explicar el porqué. Fue la matemática Emmy Noether, experta en invariantes, la que, con sus dos teoremas de 1918, explicó la diferencia radical entre conocimientos propios (conservación de la energía, de los momentos lineal y angular, de las “cargas” …), y los conocimientos impropios (segundo teorema).

Pero la razón más profunda de la conservación impropia, que Noether encontró en los grupos de infinito no enumerable de Lie, está en el campo intencional de la fenomenología renovada. La encontramos cuando se recorre el campo intencional no “desde arriba hacia abajo” (el movimiento de la mínima acción), sino “desde abajo hacia arriba”: la simple invariancia sin atención al movimiento. Y ahí encontramos la sorprendente identidad del arte, frente a la identidad de la ciencia. El arte es una forma de conocimiento impropio, fuerte y englobante.

La identidad del arte

Ricardo Sánchez Ortiz de Urbina

 

Ante la sorpresa de que el número 100 de “Eikasía” se haya transformado en un homenaje a mi persona por la mera razón de haber envejecido, me he sentido, primero, como alguien desnudo en un mercado de esclavos; después, como alguien exhibido en pública subasta; y, finalmente, como sujeto de una necrológica (fijación de la ambigüedad) que, como es sabido, suele abundar en halagos. Finalmente, vestido, modesto y vivo, lo que hago es dar las gracias a todos por sus magníficos artículos con otro, breve, sobre un nuevo enfoque de lo que son las identidades del arte, puesto que la identidad se dice de muchas maneras.

 

Una de las claves de mi libro sobre una epistemología fenomenológica (Orden oculto) es que hay que distinguir entre conocimientos propios y conocimientos impropios, dado que el arte (y la religión) no dejan de ser conocimientos. El arte no es primariamente un asunto de belleza, ni de representación, que son efectos secundarios; el arte es una cuestión de conocimiento, aunque este sea “impropio”.

El arte es conocimiento por ser universal; el arte no es “cultural”, aunque, durante siglos, haya estado impregnado por aditamentos culturales que lo hacían parcial. La marcha del arte hacia su universalidad (la autonomía) fue una marcha de siglos, que culminó felizmente con la revolución de las vanguardias, revolución simultánea de la revolución cuántica en física y de la revolución fenomenológica en filosofía. Lo mismo ha pasado con las religiones, llenas de adherencias culturales, incluso en el catolicismo, pese a su etimología de kathólou.

Los componentes culturales: lenguas, mores, mitologías, son divisorios. Los conocimientos son experiencias universales. La cuestión que se plantea es, pues, la siguiente: ¿Qué hace que unos conocimientos sean propios y otros impropios?

 

El calificativo de “propio” fue una ocurrencia de David Hilbert cuando batallaba, en paralelo con Einstein en la reconciliación de las ecuaciones de campo de la relatividad general, con la ley sagrada de la conservación de la energía, que tan evidente parecía en los conocimientos propios de la física. Le parecía a Hilbert que un conocimiento científico es propio si se ajusta limpiamente a una ecuación de continuidad. Pero, en la “continuidad”, está la “madre del cordero”, que sólo fue descifrada por Emmy Noether, experta en invariantes, llamada por Hilbert y Klein a Göttingen para ayudarles.

Noether vio inmediatamente que la continuidad se dice de dos maneras, según que sus “generadores” pertenezcan al infinito enumerable o al infinito no enumerable. Son dos continuidades diferentes, la segunda de las cuales engloba a la primera.

Esta segunda clase es la explorada por los grupos de Lie, del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), que Noether había estudiado profundamente. En año 1918, Emmy Noether, en un breve escrito (Invariante Variationsprobleme), formuló dos teoremas, el primero sobre los conocimientos propios, basados en la continuidad enumerable de los “generadores”, ligados a un principio extremo de acción mínima, y el segundo sobre los conocimientos impropios, basados en la continuidad no enumerable de los “generadores” ligados exclusivamente a una invariancia, sin el movimiento que la constriñe a una acción extrema de mínimos.

Que el funcional (la función de funciones) sea sólo invariante, o que el funcional sea además extremo, son dos cuestiones bien separadas. Los conocimientos físicos propios se rigen por las ecuaciones de Euler-Lagrange, que resuelven los movimientos que conducen a un extremo de mínimos (primer teorema). Los conocimientos físicos impropios se acogen únicamente a la invariancia, no a los movimientos extremos (segundo teorema).

Y es en el ámbito de este segundo teorema, donde se ventilaba la cuestión de la conservación de la energía en la relatividad general. Ni Einstein, ni Hilbert reconocieron las identidades de invariancia que aquí estaban implicadas, las llamadas “identidades de Bianchi”.

Pues bien, la identidad del arte se corresponde con estas identidades de mera invariancia, sin movimientos extremos. Lo que significa que las fantasías perceptivas que componen la obra de arte no salen de ningún movimiento extremo de mínimos, como en las transposiciones del lenguaje en el campo intencional, de arriba hacia abajo (considerando como “arriba” el nivel originario).

Las fantasías perceptivas del arte (y su identidad correspondiente) surgen en la mera invariancia en el campo intencional, de abajo haca arriba. Pero no, como quería Husserl, por modificación de una intencionalidad objetiva privilegiada, sino como momentos de retención de la hipérbasis en la conformación del campo intencional. Las fantasías perceptivas del arte no surgen en la transposición de niveles, cuando se estructura gnoseológicamente el campo intencional en un movimiento de extremos y mínimos. La identidad del arte es la identidad que aparece en la estricta invariancia, sin que el funcional sea “extremal”. La identidad que guía al artista en su trabajo es una identidad “a contrapelo” del campo intencional (la des-objetivación), cuando la invariancia no se refugia en movimientos de acción extrema, ni mínima.

 

“Quien daña la pintura, delinque contra la verdad”, escribió el viejo Filóstrato en su Imágenes. Es decir, la pintura (el arte) es una forma de conocimiento. Ahora bien, podemos preguntarnos: ¿De qué forma de conocimiento? Esto estaba fuera del alcance del viejo Filóstrato. Se necesitaron muchos siglos, prácticamente hasta que, a principios del s. XX, concluyeron cuatro revoluciones.

La primera revolución, la más madrugadora, comenzó con las formidables innovaciones de Galois y Riemann, que cambiaron el campo matemático en un campo eidético.

La segunda revolución es la culminación de la marcha del arte hacia su autonomía, autonomía lograda definitivamente por las Vanguardias, empezando por la transformación del Impresionismo en Expresionismo. El arte se fue despojando de sus adherencias culturales; primero, de su contexto de cultura religiosa; después, de su contexto mitológico, como comprobamos en la magnífica exposición que tiene lugar en el Museo del Prado mientras escribo estas líneas, exposición que reúne, por primera vez en siglos, las seis “poesías” mitológicas que Tiziano compuso para Felipe II.

La tercera y cuarta revoluciones son simultáneas; son la revolución fenomenológica de Husserl, con su propuesta del nivel intencional objetivo, que inaugura el campo intencional, y la revolución física que transforma la física clásica en física cuántica.

En conjunto, podemos decir que el materialismo filosófico se amplía como materialismo fenomenológico. Ha habido un proceso imparable de unificaciones.

Newton unifica el movimiento de caída de una manzana con el movimiento de los planetas: es la gravitación a un precio insoportable, la gravedad transmitida instantáneamente.

Maxwell unifica la electricidad y el magnetismo, y resulta la identidad de la luz, la constante c.

Einstein unifica el espacio y el tiempo, la masa y la energía, la gravedad y la geometría. Pero no se dio cuenta de que la masa y la materia no coinciden. Ahora sabemos que la masa no es una propiedad intrínseca de la materia; es una propiedad adquirida. Hubo un tiempo primigenio en que las partículas viajaban frenéticamente sin masa. La materia no se podía congregar, agregar. Sólo con un posterior enfriamiento (con el bosón de Higgs), la materia se agregó formando protones, neutrones, electrones, átomos, moléculas… hasta ahora. Hasta 1915, cuando Einstein, en su propuesta de una relatividad general, hace que el movimiento equivalga a la curvatura del espacio-tiempo.

Pero entonces se suscitó la alarma. La fórmula de Eisnstein:

Rμν  – ½ R . gμν = 8 π Tμν

examinada con la lupa de los matemáticos de Göttingen (Hilbert y Klein), parecía que no cumplía una conservación imprescriptible: la conservación de la energía.

Hilbert propuso una solución arriesgada; lo que ocurría era que había cambiado la forma de conocimiento. Ya no se trataba de un conocimiento clásico, un conocimiento propio, sino de un conocimiento impropio. Y fue la matemática Noether la que dilucidó lo que significa un conocimiento impropio, en su segundo teorema, de 1918, tres años después de la propuesta eisteniana.

Qué sea un conocimiento impropio se puede establecer de dos maneras. O bien como el cambio de un funcional en el que la invariancia es estacionaria, extrema, por un funcional de mera invariancia; o bien como el cambio de un grupo de transformaciones (cuyos elementos o “generadores” son un infinito enumerable), por un grupo cuyos elementos están constituidos por un infinito no enumerable. En ambos casos, se trata de distinguir tajantemente la invariancia con un funcional extremo (el movimiento analizado por las ecuaciones de Euler-Lagrange), y la mera invariancia.

Es en esa mera invariancia, que no atiende a la transposición del movimiento, donde aparece una nueva identidad, que no es la identidad intencional, ni evidentemente la identidad eidética, sino una nueva identidad, extraña: la identidad de los conocimientos impropios, que se revela primero en la relatividad general y luego reaparece en otros conocimientos impropios, los que recorren el campo intencional, no de arriba hacia abajo, por transposición, sino de abajo hacia arriba, por detención de la hipérbasis: primero des-objetivación artística, y luego experiencia estética.

Arte y Religión aparecen, así, como las dos regiones de conocimientos impropios, razón por las que fueron incluidas en el libro Orden oculto, cuyo tema es una epistemología fenomenológica.

 

Técnicamente los conocimientos clásicos propios se atienen a las variables independientes: espacio, tiempo y campo; sin someterlas a derivación. Sólo hay traslaciones y rotaciones.

Si trasladamos el tiempo (sin derivarlo), la homogeneidad del tiempo, su simetría, otorga la conservación de la energía.

Si trasladamos el espacio (sin derivarlo), la homogeneidad del espacio nos da la conservación del momento lineal.

Si rotamos el espacio (isotropía del espacio), esta simetría proporciona la conservación del momento angular.

Y el cambio del campo entero (transposición gauge), no da la conservación de la carga.

Todo esto es clásico: primer teorema de Noether.

El segundo teorema recoge el desafío de Hilbert: no era posible conciliar la ecuación de campo de la relatividad general con la conservación de la energía. Ya no funcionaba el modelo clásico anterior, en el que, de una clara continuidad (la mera traslación o rotación del espacio, del tiempo y del campo como variables independientes intactas), se deducía claramente, propiamente, la conservación de algo: la energía, el movimiento o la carga.

Ahora ha variado la continuidad misma; el espacio y el tiempo han sufrido una derivación, y resulta que, entonces, las cargas interaccionan con los campos. La conservación se ha vuelto impropia. Interviene, así, el segundo teorema de Noether. Si no hay un funcional con un movimiento extremo, con un mínimo, cambia el significado de la identidad. Aparecen entonces unas “dependencias”, que no son sino componentes del campo no determinadas por las ecuaciones del movimiento. Son identidades de la simple invariancia.

Hay, pues, dos tipos de conservación, propia e impropia, que responden a dos situaciones del funcional: si el funcional es extremo o si no lo es. Puesto que los dos teoremas de Noether se basan en separar tajantemente dos situaciones del funcional: si es extremo o si es simplemente invariante.

Aparece un nuevo tipo de identidades. No son identidades intencionales, que surgen, por transposición, en el movimiento con un extremo mínimo, sino identidades más englobantes, que no se limitan a cumplir las ecuaciones de movimiento. Estas identidades más amplias son relaciones impropias (uneigentliche Relationen), pero son relaciones fuertes, leyes de conservación fuerte (strong); mientras que las leyes de conservación obtenidas en la situación clásica del primer teorema son leyes débiles.

Las identidades de la conservación propia, débil, aparecen en los grupos de Lie de dimensión limitada (infinito enumerable); las identidades de la conservación impropia aparecen en los grupos de Lie de dimensión ilimitada (infinito no enumerable).

En este segundo teorema, cuyos resultados son englobantes de los del primer teorema, es donde se constata la conservación de la energía de la relatividad general, y donde aparecen las identidades del arte.

 

Continuemos con una nueva variación, en este sistema de exposición por variaciones musicales, que suponen necesariamente alguna repetición.

Fue en el año 1915, en abril, cuando Emmy Noether aterrizó en Göttingen, invitada por Hilbert y por Klein, como experta en invariantes. Tres meses después de su llegada, visita Einstein Göttingen, para explicar en seis lecciones su teoría general de la relatividad. Hilbert quedó entusiasmado y trabajó en una nueva versión de las ecuaciones del campo gravitatorio, que Einstein presentó, en su versión definitiva, a finales de noviembre, en la Academia Prusiana de Berlín.

Como hemos visto, el problema que se presentó sin aparente solución fue cómo conciliar las tesis de la gravitación que geometrizaban la física haciendo que la gravitación equivaliese a la curvatura del espacio-tiempo de la relatividad especial, con la conservación de la energía.

Noether intuyó rápidamente la cuestión de fondo: la fuerza de la aplicación de estructuras eidético-matemáticas a la naturaleza, y, con ello, la conexión de la teoría con la experimentación. Hilbert estaba totalmente de acuerdo, pero no Klein. Klein no veía que los principios matemáticos de variación fuesen esenciales para expresar leyes físicas. En una carta a Pauli, en 1921, llegó a escribir: “La fe fanática de los que creen que los principios variacionales puedan explicar la realidad de la naturaleza por consideraciones puramente matemáticas” (“der fanatische Glauben an die Variationsprinzipien, die Meinung, dass man durch blossen matematisches Nachdenken das Wesen der Natur erklären könne”)[1].

Sospecho que la sombra de Husserl se proyectó sobre Hilbert y sobre Noether. En efecto, Husserl pasó de Halle a Göttingen en 1905, y dejó Göttingen para pasar a Friburg en 1916. Siendo así que fue hacia 1913 cuando la influencia husserliana llega a su apogeo con la publicación de su libro-programa, las Ideas para una fenomenología, en su famoso “Anuario”, recién estrenado.

Quiero decir que, si bien Hilbert y Noether no eran filósofos, debieron sufrir la “marea fenomenológica” que les condujo a distinguir entre conocimientos propios e impropios. Distinción esta que pasa por encima de la distinción entre física cuántica y física clásica, puesto que tanto lo cuántico como lo clásico se encuentran en los conocimientos que se someten al principio de acción mínima. Como escribe Feynman en su fundamental Lectures on Physics: “Una partícula toma el camino de acción mínima (the path of least action) como si husmease todos los caminos posibles y eligiese el que supusiese la acción menor, por un método análogo al de la luz cuando elige el tiempo más breve”[2].

El camino decisivo es el que agrupa en su torno a caminos con la misma fase. Es decir, lo decisivo no es la distinción entre clásico y cuántico, puesto que ambos se someten al principio de acción mínima, sino la distinción entre propio e impropio, puesto que la propuesta de la relatividad general de Einstein es la de un conocimiento impropio, y es la fenomenología la que acaba definiendo los conocimientos propios como conocimientos inscritos en el movimiento de transposición del campo intencional, de arriba hacia abajo, por transposición. Mientras que los conocimientos impropios se inscriben en el campo intencional “haciéndose”, en la detención de la hipérbasis por la que la epokhê nos lanza hacia el sentido humano en el límite superior del campo intencional.

 

Los conocimientos propios son posteriores, y son los que organizan, en el regressus gnoseológico, el campo intencional, por sucesivas transposiciones. Por eso, los conocimientos impropios son englobantes de los propios y, entre ellos, además de la relatividad general inicial, está el arte: la identidad del arte en la detención del nivel medio.

Si bien hay que observar que no se trata de que esta “detención” de la hipérbasis equivalga a lo que Husserl creía era una modificación de la intencionalidad objetiva. La identidad del arte se produce en una des-objetivación técnica, que no significa una modificación de la intencionalidad. Las fantasías perceptivas que definen la identidad del arte (un eco de las identidades de Bianchi en la física) no son fantasías perceptivas por transposición del nivel originario (movimiento de mínima acción), ni son fantasías producidas por modificación de una intencionalidad objetiva; son fantasías perceptivas surgidas en una extraña detención de la hipérbasis.

Es en esa identidad del arte donde se da una connivencia entre el artista y el matemático (el científico), cuando ambos parten de un núcleo especial de fantasías perceptivas que servirán para menesteres diferentes: arte y ciencia.

Fue seguramente Dirac el científico que mejor percibió esta connivencia. Dirac, con su ecuación, fue capaz de hacer cada vez más precisa la aplicación de lo eidético a lo físico, tras las ecuaciones de Schrödinger y de Klein-Gordon. Y, al mismo tiempo, se fue acentuando su carácter artístico. La ecuación de Dirac es más simple, lineal, y es capaz de predecir, en sus cuatro funciones ordenadas en columnas, antipartículas: electrones de carga positiva y antiprotones de carga negativa, antes de que pudieran ser observadas experimentalmente.

Podemos preguntarnos: ¿De dónde le viene a Dirac esa aproximación entre lo estético y lo físico? La respuesta sólo puede ser la siguiente: lo inapropiado engloba lo apropiado. En las ecuaciones de Noether, los grupos constituidos por elementos con infinitud no enumerable engloban los grupos con elementos de infinitud numerable. El segundo teorema de Noether abarca el primero. El continuo que hace derivar el tiempo engloba el continuo temporal. Es decir, en el campo intencional, el recorrido de abajo hacia arriba por hipérbasis constitutiva es englobante del recorrido gnoseológico de arriba hacia abajo cuando necesariamente el movimiento del funcional es una invariancia estacionaria con mínimos de acción extrema.

Las “dependencias” de Noether, es decir, las relaciones entre los componentes del campo, no determinadas en modo alguno por las ecuaciones de movimiento, se dan en la simple invariancia. Noether vio claramente que, tras la conservación propia, tras las leyes de la mecánica clásica, la electrodinámica y la cuántica, aparecían funciones englobantes, funciones de las coordenadas espacio-temporales. Y esto sólo se podía apreciar desde la teoría matemática de los grupos de transformación. Hay un grupo de Lie, fundamental y englobante, en el que cada punto se revela como un generador del continuo.

En la teoría de la relatividad general, estas transformaciones radicales afectan al tensor métrico, que es el componente básico de la gravitación.

 

Hay pues una identidad básica, identidad en la mera invariancia. Los físicos las llaman identidades de Bianchi, en el tensor de curvatura de Riemann. Estas dependencias, o identidades de Bianchi, son el precedente de las identidades del arte cuando nos limitamos al campo intencional dominante y a la conexión interna de sus componentes.

En su segundo teorema, Noether demuestra que la conservación de la energía en la teoría de la relatividad general es impropia, de manera que la materia y la gravedad están intrínsecamente acopladas. Sólo podría hablarse de conservación propia de la energía en el sistema entero del universo, con un sujeto intencional fuera de ese sistema (Dios), situación imposible. En la situación humana, en la que inevitablemente nos encontramos, hay necesaria y simultáneamente conocimientos propios e impropios, y los primeros (con sus leyes de conservación) forman un subgrupo de los segundos.

La conservación de la energía en la relatividad general no puede ser propia, y la identidad del arte en la detención de la hipérbasis del campo intencional tampoco es propia. Y lo impropio en engloba lo propio. Lo cual no significa que la tesis del viejo Protágoras fuese cierta. Protágoras sostenía que el hombre es la medida de todo. También pudiera decirse que son las cosas las que miden al hombre. Pues bien, ni el antropologismo ni el naturalismo. Hay que confesar que las cosas miden al hombre y el hombre mide las cosas. El campo intencional brota por la epokhê del movimiento natural y ciego de la physis, y este movimiento se hace transparente precisamente desde el campo intencional.

Tal es la situación de circularidad fundamental en la que está inscrita imprescriptiblemente la humanidad. Y es en tal situación circular donde queda obligada la distinción entre conocimientos propios e impropios. Es el mismo campo intencional el que se duplica, si nos atenemos a su conformación en la simple invariancia (identidades artísticas impropias), o si nos atenemos a su conformación como el movimiento regido por constricciones extremas: acción mínima de lo propio.

 

En síntesis: el segundo teorema de Noether es englobante del primero; hay leyes impropias de conservación versus leyes propias clásicas; hay puntos de infinito no enumerable en el grupo de transformaciones versus puntos de infinito enumerable; hay dependencias componentes del campo versus funcionales extremos; hay identidad de la simple invariancia versus una invariancia dominada por el movimiento.

Si nos centramos en el nivel de intermediación, podemos observar cómo se cruzan las dos direcciones. De arriba hacia abajo, las fantasías perceptivas (identidades de lo transposible) se parten culturalmente. De abajo hacia arriba, las fantasías perceptivas (identidades del arte) son universales.

Ahí radica lo que se ha llamado la marcha del arte hacia su autonomía. Cuando las obras de arte están afectadas culturalmente, su recepción deja de ser universal, y queda acotada por los conjuntos de sujetos agrupados culturalmente por lenguas, mores y mitologías de justificación. Cuando el arte se despega de afecciones culturales y consigue la libertad de su autonomía, su recepción es universal y cruza las fronteras culturales.

La identidad del arte es universal; la identidad de lo transposible es divisoria. Pero es el mismo campo intencional el que alberga las dos dimensiones, impropias y propias, que recorren el funcional en sentidos contrapuestos, de manera que el sentido impropio es el fuerte y englobante.

Lo que Noether, con su dominio de los grupos de transformación de Lie, encontró en la relatividad general de Einstein (las identidades de Bianchi, que ni Hilbert ni Klein conocieron) y que le permitió explicar la conservación de la energía como conservación impropia, lo hemos extendido a territorios análogos, en los que aparece la identidad del arte. Identidad del arte que, por ser fuerte e impropia, es englobante de las identidades científicas (conservación de la energía, de momentos y de “cargas” de diverso tipo), y confirmamos tal situación extraña y aparentemente escandalosa, en la irremediable circunstancia humana que es la circularidad fundamental: “Yo y mi circunstancia”.

Y lo mismo que acabamos de analizar en el nivel intermedio del campo intencional podemos comprobarlo en el nivel originario. Lo que aquí se cruza es lo que suele llamarse fenomenologización y experiencia estética: es el proceso, también regido por una ley de acción mínima de los “caminos” que se integran versus la experiencia libre de movimiento, y atenida a la mera invariancia de la experiencia estética, continuación de la identidad artística, y cuya misión es evidentemente la de un reforzamiento de la humanidad.

 

El año 1970 es una fecha clave en la historia de la física. Fue el año en el que se completó el modelo estándar de la física de partículas. Desde tal fecha hasta ahora, no ha variado sustancialmente nuestro conocimiento del mundo físico; ha habido avances de detalle: nuevos bosones de la fuerza nuclear débil, bosones de Higgs, oscilaciones de neutrinos, expansión acelerada del universo… pero: “en lo que se refiere a conocimiento empírico, los físicos saben básicamente ahora lo mismo que sus colegas de 1970”[3].

1970 fue también la fecha en que se redescubre los teoremas de Noether de 1918, medio siglo después. Durante esos cincuenta años, los físicos acostumbraron a hablar de los grupos de Lie (que están en la base de dichos teoremas) como de la “peste de los grupos” (Gruppenpest), resistiéndose de modo extraño a la matematización de la física. Se necesitaron décadas para que la comunidad de físicos aceptase la matemática de Noether; y muchos más años para reconocer su decisiva división entre la conservación de las leyes físicas en la mecánica clásica y la conservación de la energía en la relatividad general.

 

Es la divisoria y conocimientos propios y conocimientos impropios lo que está en el núcleo de la expresión gravedad cuántica. La gravedad cuántica no tiene una resolución científica, sino fenomenológica, puesto que afecta a los dos sentidos del campo intencional: el sentido que alberga los conocimientos propios, atenidos a la transposición de niveles, cuando el funcional se rige por un principio de acción extrema; y el sentido que alberga los conocimientos impropios, fuertes y englobantes: la gravitación universal, la geometría del espacio-tiempo.

La gravedad cuántica pretende aunar científicamente lo que, por definición y previamente, está separado: los conocimientos propios e impropios, que sólo se reconcilian fenomenológicamente.

La identidad del arte y la teoría de la relatividad general son conocimientos impropios porque ambos se refieren, del mismo modo, al espacio-tiempo: el espacio-tiempo se transforma en ellos de manera que el parámetro infinitesimal generador (ε) no conserva su valor. Espacio y tiempo están sometidos, en ambos casos, a derivación. Es el propio parámetro ε el derivado; lo que resulta es una identidad de la mera invariancia, una identidad que pone de relieve “dependencias” del campo intencional, componentes del campo no determinadas por las ecuaciones de movimiento.

El físico Dwight Neuenschwander resume todo esto en esta frase: “Noether’s second theorem drives home the point that a functional being an extremal and being invariant are separate considerations” (“El segundo teorema de Noether subraya el punto, según el cual, que el funcional sea extremo o que sea invariante, son dos consideraciones separadas”)[4].

 

Cabe, para rizar el rizo, y terminar, la constatación de que hay, además, una cierta jerarquía entre las identidades del arte. Parece haber identidades de arte con un potencial de conocimiento impropio superior al de otras afines.

Valga un ejemplo muy conocido. La sonata de Vinteuil es una sonata ficticia de Proust en su gran novela, pero es evidente que su identidad es superior en potencial impropio a la identidad de la sonata de Cesar Franck en la que, al parecer, se inspiró.

 

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Es evidente el estilo de exposición de este artículo. Es un calco de lo que, en música, se llama variaciones. Hay contenidos que no se pueden expresar linealmente, sino sólo como una serie de sucesivas variaciones musicales, según vayan cambiando las coordenadas, en una repetición diferenciada; variaciones musicales que pueden poner a prueba la impaciencia de algún lector.

Es decir, es el contenido el que se ha impuesto aquí a su forma de exposición.

 

RICARDO SÁNCHEZ ORTIZ DE URBINA
Guadarrama, 11 de junio, 2021.

 

[1] I. KOSMANN – SCHWANZBACH, The Noether Theorems, Springer, 2018, p. 27.

[2] R. FEYNMAN, Lectures of Physics, v. II, 19-9, California Institut of Technology, 1964.

[3] P. NARANJO, La gravedad cuántica, Madrid, RBA, 2019, p. 141.

[4] D. E. NEUENSCHWANDER, Emmy Noether’s wonderful theorem, Baltimore, Hopkings Universty Press, 2017, p. 197.

 

©Ilustración Francisco Cajal Remón
©Eikasia Ediciones
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